Derivadas

Derivadas de funciones elevadas a una potencia.

Teorema 1

1)       f(x)=0

             f¹(x)=0

2)    Si  y=x

     y¹=1

3)    Si  y=x²

     y¹=2x

4)    Si  y=x³

   y¹= 3x²

5)    Si  y=xⁿ

     y¹=nx^n-1

Teorema 2

c→constante

f(x)=cxⁿ

f(x)=cnx^n-1

Sea “u” de x una función y “c” una constante entonces
d(cu)/dx=c(du/dx)
Teorema 3
Sea “u” de x y “v” de x dos funciones diferenciales de x entonces
d/dx(u+v)= du/dx + dv+dx

Analisis marginal

Costo marginal

C(X)=costo
dc(x)/dx →costo marginal

Por ejemplo suponga que el fabricante  de cierto articulo descubre que a fin de producir  “x” de estos artículos a la semana , el costo total en dólares esta dado por    c=200+0.03x². Por ejemplo si se producen 100 articulos  del costo total serian 5000 dolares. El costo promedio por articulo al producir  100 articulos es de 5 dolares por produccion. Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción  de 100 a (100+∆x) unidades  por semana el costo seria.

C+∆c=200+0.03(100+∆x)²

          =200+0.03[(10000+200∆x+(∆x)²]

         =200+300+6∆x+0.03(∆x)²

         =500+6∆x+0.03(∆x)²

Calcula el costo marginal para el caso de la función

c(x)=0.001x³-0.3x²+40x+1000

c(x)=0.003x²-0.6x+40

x=50,100,150

c¹ (50)=.003(50)²-0.6(50)+40=         17.5

c¹(100)=.003(100)²-0.6(100)+40=    10

c¹(150)=.003(150)²-0.6(150)+40=    17.5

Costo promedio c(x)/x=0.001x²-0.3x+40+1000/x

La funcion de ingreso esta dada por R(x)10x-0.01x² calcula el ingreso marginal y evaluado cuando x=200

R(x)=10-0.01x²
R¹(x)=10-0.02x
R¹(200)=10-0.02(200)=6
La ecuacion de la demanda de cierto producto es P+0.1x=80 la función de costo es c(x)=5000+20x calcula utilidad marginal cuando se produce y venden 150 unidades y 400 unidades.

Es la derivada

P+0.1x=80                     P=80-0.1x

C(x)=5000+20x              R(x)=x(80-0.1x)

                                              =80x-0.1x²

P(x)=R(x)-C(x)

P(x)=(80x-0.1x²)-(5000+20x)

P(x)=60x-0.1x²-5000

P¹(x)=60-0.2x

P¹(150)=60-0.2(150)=30

P¹(400)=60-0.2(400)=-20          

derivadas

1.- Definición de derivada:

Sea e igual f(x) una función dada la derivada de y con respecto a x se denota por dy/dx se define por:
Dy/dx = lim Δx→0 = Δy/ Δx o bien dy/dx = lim Δx→0 f(x+ Δx)-f(x)/ Δx
2.- Otros nombres que recibe la derivada:
También se le denomina coeficiente diferencial y su operación se llama diferenciación.
3.- Distintas formas de denotar la derivada:
d/dx (y), df/dx, d/dx (f), y’, f’(x), Dxy, Dxf.
4.- Como se calcula la derivada utilizando límites:
Lim Δx→0 = f(x+ Δx)-f(x)/ Δx
5.- Cual es la representación geométrica de la derivada:

Ejercicios

Calcula las derivadas de las funciones siguientes con respecto a las variables independientes según sea el caso (utiliza la derivada con limites)

4. g(t) = -3

g(t) = -3+3/0 = 0
6. g(t) = 3t²+1
3(t+Δt)²+1-(3t²+1)/Δt 
3(t²+2t Δt+ Δt²)+1-3t²-1/Δt
3t²+6t Δt+3 Δt²+1-3t²-1/ Δt
Δt(6t+3 Δt)/ Δt
Lim Δt→0 6t+3 Δt   =   6t
10. f(x) = 1/x
(1/(∆+∆t)+1/x)/∆x   lim ∆→0 
(1/(x+∆t)-1/x)/∆x=    (x-x-∆x/x(x+∆x))/∆x/1=      (x-x-∆x)(∆x)/(∆x)(x)(x+∆x)
x-x-∆x/x²+∆x+x=     lim∆x→0         -1/x²
14. g(u) = u/u+1
(u+∆u/u+∆u+1)-(u/u+1)/∆u       
15. calcula dx/dy si:
a) y=3-2x²      b) y=3x+7
18. calcula dp/dq si:
a) p=1/3+2q       b) p=1/√q
24. encuentre H’(z) si H(t) = 1/t-1
1(t^-1-1^-1)  t^-1-1^-1=-t^-2=1/t²                        f(x)=1/t²
Determina la pendiente de la tangente a las graficas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Encuentren la ecuación de la línea de la tangente en c/caso
26. y = x²+x+2 en x=-2
f’(x) = 2x+1 = 2(-2)+1 = -3
y-(2x+1) = -3(x+2)
y= -3x-6+2x+1
y= -x-5
28. g(x) = 1/x-1 en x= 2
x-1-1/x²-1 = x-2/x²+1 = (-1)(x+1)/x+1)(x+1) = -1/x+1 = -1/3 pendiente
y = x-2/x²+1 = -1/3 (x-2)
y= -x/3+2/3+1/x+1
y = -3x/x+1
30. f(x) = √x-1 en x = 5
f’(x) = (x-1)^1/2 = 4^1/2 = 2
y-(x-1)^1/2 = x(x-5)
y = 2x-10-x^1/2+1
y = 2x-x^1/2-9
34. Cierta población crece de acuerdo con la formula p(t) = 30000+60t² donde “t” se mide en  años. Calcula la tasa de crecimiento cuando t=2, t=0, t=5
P(t) = 30000(2)+60(2)² = 60240                        en 2 años
P(t) = 30000(0)+60(0)² = 0                                 en 0 años
P(t) = 30000(5)+60(5)² = 151500                      en 5 años

1.- Definición formal de límite.

Se dice que el L es el límite de f(x) cuando “x” → “c”
lim x  c f(x) = L o bien  f(x) L cuando x

2.- ¿Qué es la velocidad instantánea?

Se define como la distancia recorrida en cierto intervalo dividida entre su duración.

3.- Cuando se dice que es una función continúa.

Una función de f(x) es continua en x = c si tanto f(c) como lim f(x) existen y son iguales. 

4.- Como se calcula el límite de una recta.

 lim (mx+b) = mc+b

5.- Como se calcula el límite de una constante por una función.

lim bf(x) = b   lim  f(x)

6.- Como se calcula el límite  a la enésima potencia:

lim[f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ si [f(x)]ⁿ  esta definida en “x” cercano a  x=c

7.- Como se calcula el límite de la suma de dos funciones:

lim [f(x)+g(x)] = lim f(x) + lim g(x)

8.- Como se calcula el límite de la resta de dos funciones:

lim [f(x)-g(x)] = lim f(x) - lim  g(x)

9.- Como se calcula el límite de una multiplicación de dos funciones:

lim [f(x)g(x)] = [lim  f(x)]  [lim  g(x)]

10.- Como se calcula el límite de una división de dos funciones:

lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)] /[ lim  g(x)]

Todos los lim

                x→c

 Ejercicios:

2.

 

8. limx→1    x²-1/x²⁺x-2

Lim x 1 (x-1) (x+1)/(x-1) (x+2)
 Lim x 1 (1+1)/1+2) = 2/3
12. Lim x 3 (x²-9)/x²-5x+6
 Lim x 3 (x-3) (x+3)/(x-3) (x+2) = 6/5
22. Lim x 9 (x²-729)/√x-3
30.                Lim

Calcula lim f(x) x c en donde f(x)y c se dan abajo:

32. f(x) = x²-3x+1      para x≠1
f(x) = 7                para x=1    c=1
f(x) = (1)²-3(1)+1 = -1

36. f(x) = x-9/√x+3   para x≠9

   f(x) = 7                para x=9     c=9

Las funciones f(x)y los valores de "a" están dados abajo evalue:
Lim h
En cada caso:
38. f(x) = 3x²-5x+7, a=2
F(x) = 3(a+h)²-5(a+h)+7-(3a²+5a-7)/h = 3a²+3h²-5a-5h-3a²+5a/h = h(3h-5)/h
Lim h 0 = 3h-5 = -5
40. f(x) = x²+x+1, x=x
Lim x 0 (x+h)²+(x+h)+1-(x²+x+1)/h    =    x²+h²+x+h+1-x²-x-1/h  =  h(h)/h = 0

Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 pies p/ S. La distancia recorrida en pies después de “t” segundos está dada por la formula s = 40t-16t² .Determina la velocidad instantánea después de 1 segundo y 2 segundos

S = 40(1)-16(1) = 40-16 = 24
S = 40(2)-16(4) = 80-64 = 16  =  24-16 = 8 pies p/s

 

 

   

 

 

 

1.- ¿Qué es el cálculo diferencial?

El cálculo diferencial en el estudio la variables dependientes, cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el calculo es la derivada.   

2.- ¿Qué es el incremento de x?
Es el incremento arbitrario de la variable “x”

3.- Como se denota y como se calcula

Se denota Δx=x2-x1
Calcula: x1=x0+Δx. Si se da un incremento Dx a la variable x1(si x pasa de x=x0 a x=x0+Dx), la función de y=f(x) se verá incrementada en Dy (f(x0)-Rx)-f(x0). El cociente recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre, x=x0 a x=x0+Dx.
 Incremento de y es igual a la operación de de dos funciones cuales son estas:
Para las funciones de una variable y=f(x) se define el incremento de y como:
Δy=f(x1+Δx)-f(x1 y    Δy=(x+Δx)-f(x)

4.- ¿Qué es la tasa de cambio promedio, como se denota, y cuál es su formula?

La tasa de cambio promedio de una función f, se define como la razón de Δx/Δy de tal manera que: ΔyΔx=f(x)+ Δx-f(x)/ Δx. Se requiere que el intervalo x, Δx pertenezca al dominio de la función:

Tasa de cambio = cambio de y/cambio de x = f (y)-f(x)/y-x

5.- un ejemplo de tasa de cambio promedio

Para la función f(x)=(x-3)^2

Encuentre la tasa de cambio promedio entro los puntos siguientes:

a) x=1y x=3         b) x=4y x=7
(3-3)²-(1-3)²/3-1=  0-4/2  =  -2
(7-3)²-(4-3)²/7-4=  16-1/3  =  5

 Determine los incrementos de las funciones siguientes para los intervalos dados

2. f(x) = 2x²+3x-5; Δx = 0.5 x = 2

f(2.5) = 2(2.5)²+3(2.5)-5-2(2)+3(2)-5 = 8

6. h(x) = ax²+bx+c; xa  x+Δx

h (a) = a(a)² +b(a)+c-(a(a)²+b(a)+c = 2ba+2c

Calcula la tasa de cambio de cada función en el intervalo dado:

10. f(x) = 3x²-5x+1; x=3 Δx=0.2

3(3)²-5(3)+1-3(0.2)²-5(0.2)+1/3-0.2 = 4.6

14. f(x) = 3/x; xa x+Δx

3/a+ Δx-3/a+ Δx/ Δx= 0

16. f(x) = 3/2x+1; xa x+ Δx

3/2(3)+1-(3/2(0.2)+1/3-0.2 = 1.5-6.5/2.8 = -1.78

18. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos esta dado por:

  C = 0.001x³-0.3x²+40x+1000

a)    Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementan de 50 a 60.

b)    Calcule el costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60 unidades.

Δf(x) = f (x+ Δx)-f(x)

a)    Δf (60) = (0.001(60))⁵-0.3(60)²+40(60)+1000+0.001(50)³-0.3(50)²+40(50)+1000

Δf(x) = 161

b)    0.001(50)³-0.3(50)²+40(50)+1000-0.001(10)³-0.3(10)²+40(10)+1000/60-10

Δy/ Δx = 23.3

26. el ingreso semanal total R (en dólares) obtenido por la producción y venta de “x” unidades de cierto articulo esta dado por: R = f(x)=500x-2x²

*Determina la tasa promedio de ingresos por unidad extra cuando el número de unidades producidas y vendidas por semana se incrementa de 100 a 120

Tc = 500(120)-2(120)²-500(100)-2(100)²/120-100
Tc = 31200-30000/20
Tc = 1200/20=60 dólares

 

 

 

 

1.- ¿Qué es una función exponencial. Cuando es creciente y decreciente?

La función que a cada un numero real “x” le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base “a” con exponente “x”

Es creciente si  a>1
Es decreciente si a<1

2.- ¿Cuál es el dominio de una función exponencial?

Es el valor de “x”
Df(x)=R

3.- ¿Qué es una función exponencial natural?

Es una función exponencial f(x)=e^x con base “e” y exponente “x”

4.-Ejemplo de cómo calcular el crecimiento poblacional

P=f (40)
P=20e^.0.04 (40)
P=832.64

Ejercicios:

1. Dada f(x)=e^x demuestre que:

1)-f(0)=1                                 f(0)=e⁰=1
2)- f(x)/f(y) = f(x-y)               f(x)/f(y)=e^x/e^y=e^x-y

Determine el dominio y rango de las funciones siguientes:

y=f(x) = (0.2)^-x

Df(x)=R                                 Rf(x)={yER/y>0}f(y)

y= f(x) = (2+3e^-x)^-1

Df(x)=R                                 Rf(x)={yER/y≤.5}

 Construya las graficas de las funciones exponenciales siguientes calcula alguno de  sus puntos:

-5	-3	0	3	5
32	8	1	.125	.0625

14) y = (1/2)^x

 

 

 

 

 

 

 

 20) y =(3/4)^x

-5	-3	0	3	5
4.21	2.37	1	0.42	0.23

 

 

Por medio de las graficas de y=e^x  y  y=e^-x hagan un bosquejo de las graficas de las siguientes funciones exponenciales.

22. y=e^2x

 

 

 

 

28. y= e^x-IxI

 

 

 

 

32. y=  y=e^x/1+2e^x

 

 

 

 

Una población de microorganismos se duplican c/45 minutos. Si al principio están presentes 5000 organismos, Cuántos habrá después  de:

a) 3 horas =

P_t=5000(1+.45)³
   =5000(3.0486)
   =15243.13          

b) 6 horas =

P_t=5000(1+.45)⁶
    =5000(9.2941)
    =46470.57

c) t horas =

P_t=5000(1+.45)^t