Aplicación de máximos y mínimos

Los 5 principios  

1: identifique todas las variables innovadoras en el problema y denomine cada una de ellas mediante un símbolo. En el ejemplo 1 las variables eran n, el numero de peces por unidad de área w. la ganancia promedio de peso por pez, y P la producción total de peso de los peces por mitad de área. En el ejemplo 2 las variables eran dos números x y y, y P su producto.

2: destaque la variable que han de ser maximizada o minimizada y expresarla en términos de las otras variables del problema volviendo el ejemplo 1, la producción total de P se maximizo y escribamos P=nw que expresa a P en termino de n y w. en el ejemplo 2, el producto P de x y y se maximizo y por supuesto P=xy.

3: determine las relaciones entre la variables exprese estas relaciones matemáticamente. En el primer ejemplo, se debe a la relación x=600-3n. En el segundo ejemplo la relación entre x y y es q su suma debía ser igual a 16, de modo que escribimos la ecuación matemáticamente x+y=16.

 4: Exprese la cantidad por maximizar o minimizar en términos de una sola variable. Con objeto de hacer esto, se utilizan las relaciones obtenidas en el paso 3 a fin de eliminar todos excepto una de las variables.

Recurriendo de nuevo al ejemplo 1, tenemos que P=nw y w=600-3n de modo que, eliminando w, se obtiene P en términos de n; P=n(600-3n). En el segundo ejemplo tenemos que p=xy y x+y=16, por lo que, eliminando y, obtenemos P=x(16-x).

5: Una vez que se ha expresada la cantidad requerida como una función de una variable, determine unos puntos críticos e investigue si son máximos o mínimos locales.

Ejemplos:

1: las variables en el problema son las dimensiones del tanque y el costo de las materiales de construcción, el costo depende del área total de la base y de los lados los cuales determinan la cantidad de material usado en la construcción. Detonemos con la x la longitud de un lado de la base y con y la altura del tanque. La cantidad que debe minimizarse el costo total de materiales, que denotamos como C.

2: C es igual al área del tanque multiplica por $10 que es costo  por unidad de area. La base es un cuadrado con lado x. de modo que tiene un área igual a ax^2. Cada lado es un rectángulo con dimensiones x y y, y tienen una área xy. El área total de la base más los cuatro lados es por tanto x²+4xy en consecuencia escribamos:

C=10(x²+4xy)

3: observe que la cantidad por minimizar esta expresada como una función de dos variables, de modo que necesitamos una relación entre x y y, a fin de eliminar una de estas. Esta relación se obtiene del requerimiento de que el volumen es igual al área de la base ser 4m³. El volumen es igual al área de la base por la altura, esto es, x² y  y así tenemos la condición.

^X2y=4

4: por el paso 3, y=4/x² y así:

C=10[x²+4x(4/x²)] = 10[x-8/x⁴] = 0

5: podemos derivar la ultima expresión y determinar los puntos críticos de C.

2.-

Determine 2 números cuya  suma sea 16 de tal forma que su producto sea tan grande como sea posible.

Solución: sean dos números x y y de modo que x+y=16 si P=xy denota su producto, entonces necesitamos determinar los valores de x y y que produzca que P sea máximo.

No podemos derivar P de inmediato puesto que una  función de dos variables x y y. sin embargo, estas dos variables no son independientes sino que están relacionadas por la condición x+y=16. Debemos usar esta condición a fin de eliminar una de las variables de P. como función de una sola variable. Tenemos que y=16-x y así:

P= xy= x(16-x) = 16x-x²

Debemos de encontrar el valor de que x haga a P máximo.

Dp/dx = 16-2x

Así que dp/dx=0 cuando 16-2x=0 esta es si x=8. La segunda derivada de d^2p/dx²=<0 y x=8 de modo que el valor máximo P es igual.

EJERCICIOS:

2.-encuentra dos números con suma igual 8 que la suma de sus cuadrados sea un mínimo.

x+y=8

y=8-x

P=xy=x(8+x)=0

X=-8

6.- cual es el área el máximo del rectángulo que pueda inscribirse en un circulo de radio a.

3.1416(a)² = 3.1416a ²

El área máxima del circulo es de 3.1416a ²

 

10.- un folleto impreso a de contener 48 pulgadas cuadradas de espacio impreso con márgenes de 3 pulgadas en la parte  superior  e inferior y márgenes laterales de una pulgada. ¿Qué dimensiones del folleto consumirán la misma cantidad de papel?

x²-x=900

x=45    x=20

900(15)=13500

680(20)=13600

a)    Las dimensiones son: l=45m      h=20m

b)    Las dimensiones cuando sube a $20 son  l=40m  y   h=17m

14.- el costo de producción anual de un producto es c= 5000 + 80000000/x+x/20 donde x es el tamaño promedio del lote por serie de producción. Encuentre el valor de x que hace mínimo a C.

C=5000+80000000/x+x/20

C=5000+80000000x/20x

4000000x+5000=0

X=-5000/4000000

X=-0.00125 es cuando hace mínimo a C.

22.- una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a una taza de 2 pesos por unidad. Se estima la función de costo del producto como (1000+1/2(x/50)²) pesos por x unidades producidas

A) encuentra una expresión para la utilidad total si se venden y deben x unidades

b) determina el número de unidades producidas que maximizan la utilidad.

c) cual es la cantidad de utilidad máxima.

d) cual sería la utilidad si se produjeran 6000 unidades.

A) I=Px   I=2x

U=I-C

U=2x-1000+1/2(x/50)²

B) U’=2+x/50(x/50)²

U=2(2)+1000+1/2(2/50)²

C) U=1004.0008 unidades

U=2(12000)+1000+1/2(12000/50)²

D) $82600

36.- se corta un cuadro de tamaño x de cada esquina de una cartulina rectangular que mide 12 por 18 pulgadas y las 4 aristas se doblan para formar una caja de profundidad x. encuentre el valor de x que da la caja de volumen máximo.

16p²+12p²-p³=

32p+24p-3p²=0

P (32+24-3p)=0

p=-32-24/-3

p^2=18.68

p=4.3