derivadas

1.- Definición de derivada:

Sea e igual f(x) una función dada la derivada de y con respecto a x se denota por dy/dx se define por:
Dy/dx = lim Δx→0 = Δy/ Δx o bien dy/dx = lim Δx→0 f(x+ Δx)-f(x)/ Δx
2.- Otros nombres que recibe la derivada:
También se le denomina coeficiente diferencial y su operación se llama diferenciación.
3.- Distintas formas de denotar la derivada:
d/dx (y), df/dx, d/dx (f), y’, f’(x), Dxy, Dxf.
4.- Como se calcula la derivada utilizando límites:
Lim Δx→0 = f(x+ Δx)-f(x)/ Δx
5.- Cual es la representación geométrica de la derivada:

Ejercicios

Calcula las derivadas de las funciones siguientes con respecto a las variables independientes según sea el caso (utiliza la derivada con limites)

4. g(t) = -3

g(t) = -3+3/0 = 0
6. g(t) = 3t²+1
3(t+Δt)²+1-(3t²+1)/Δt 
3(t²+2t Δt+ Δt²)+1-3t²-1/Δt
3t²+6t Δt+3 Δt²+1-3t²-1/ Δt
Δt(6t+3 Δt)/ Δt
Lim Δt→0 6t+3 Δt   =   6t
10. f(x) = 1/x
(1/(∆+∆t)+1/x)/∆x   lim ∆→0 
(1/(x+∆t)-1/x)/∆x=    (x-x-∆x/x(x+∆x))/∆x/1=      (x-x-∆x)(∆x)/(∆x)(x)(x+∆x)
x-x-∆x/x²+∆x+x=     lim∆x→0         -1/x²
14. g(u) = u/u+1
(u+∆u/u+∆u+1)-(u/u+1)/∆u       
15. calcula dx/dy si:
a) y=3-2x²      b) y=3x+7
18. calcula dp/dq si:
a) p=1/3+2q       b) p=1/√q
24. encuentre H’(z) si H(t) = 1/t-1
1(t^-1-1^-1)  t^-1-1^-1=-t^-2=1/t²                        f(x)=1/t²
Determina la pendiente de la tangente a las graficas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Encuentren la ecuación de la línea de la tangente en c/caso
26. y = x²+x+2 en x=-2
f’(x) = 2x+1 = 2(-2)+1 = -3
y-(2x+1) = -3(x+2)
y= -3x-6+2x+1
y= -x-5
28. g(x) = 1/x-1 en x= 2
x-1-1/x²-1 = x-2/x²+1 = (-1)(x+1)/x+1)(x+1) = -1/x+1 = -1/3 pendiente
y = x-2/x²+1 = -1/3 (x-2)
y= -x/3+2/3+1/x+1
y = -3x/x+1
30. f(x) = √x-1 en x = 5
f’(x) = (x-1)^1/2 = 4^1/2 = 2
y-(x-1)^1/2 = x(x-5)
y = 2x-10-x^1/2+1
y = 2x-x^1/2-9
34. Cierta población crece de acuerdo con la formula p(t) = 30000+60t² donde “t” se mide en  años. Calcula la tasa de crecimiento cuando t=2, t=0, t=5
P(t) = 30000(2)+60(2)² = 60240                        en 2 años
P(t) = 30000(0)+60(0)² = 0                                 en 0 años
P(t) = 30000(5)+60(5)² = 151500                      en 5 años