Regla de la cadena

Si y es una función de “u” y  “u” es una función de “x” entonces dy/dx=(dy/du)(du/dx) por ejemplo:

1.-Y=(x²+1)⁵
Y=u⁵                            u=x²+1
Y¹=5u⁴                        u¹=2xY¹
    =5u⁴(2x)
    =5(x²+1)⁴(2x)
    =10x(x²+1)

2.-y=(3x+1)⁶
Y=u⁶                                   u=3x+1
Y¹=6u⁵                                u¹=3
Y¹=6u⁵(3)
     =6(3x+1)⁵(3)
     =18(3x+1)⁵

Si y es igual [u(x)]ⁿ entonces y¹=n[u(x)]^n-1  (du/dx)
Y=(4x+3)⁷

Y¹=7(4x+3)⁶(4)
Y¹=28(4x+3)⁶

Puntos criticos

Sea f(x) de x=c si f(c) es mayor que f(x) para toda x suficientemente cerca de c.

f(c)>f(x)

Una función f(x) se dice que tiene un mínimo local en x=c si f(c)<f(x).

f(c)<f(x)

El término extremo se utiliza para adentrar a un máximo local o bien a un mínimo local.

El valor x=c se denomina punto crítico para una función continua f si f(c) está bien definida y si, o bien f(c) o bien f’(x) no existe en x=c.

Ejemplo:

f(x) = x³(2x³-3x)
f(x) = 2x⁶-3x⁴
f¹(x)=12x⁵-12x³
f¹(x)=12x²(x²-1)
f¹(x)=12x³(x+1)(x-1)

x=0                x=-1                   x=1

Primera derivada

Sea x=c un punto critico de la función f entonces:

a)    Si f’ =(x)>0 para x justo antes de c. y f’(x)<0 justo después de c entonces c es un máximo local f.

b)    Si f’ =(x)<0 para x justo antes de c. y f’(x)>0 justo después de c entonces c es un mínimo local f.

c)    Si f Si f’ =(x)>0 para x justo antes de c. y f’(x)<0 justo después de c entonces c es un máximo local f.

d)    (x) tiene el mismo signo para x justo antes de c y para x justo después de c entonces c no es un extremo local de x

Determina puntos criticos u maximos y minimos en los siguientes ejercicios.

2.-3x+5

3= 0 No hay  punto  crítico 

4.- 2x³-3x²-36x+7

6x2-6x-36 

 

6.- x4 -4x3+5

4x³ -12x²

4x²(x-3)

X = 0          x= 3 

8.- (x-1)² (x-2)³

2(x-1)3(x-2)

(2x-2)(3x-6)

X=1  X = 2

10.- X²+X^-2

2X -2X^-3

2X = 0  X-3 =0

X= 0        X= 3

12.-  X ^{2/3 -}X^1/2

2/3X ^-1/3 – 1/2X  ^-1/2

2/3X^-1/3 = 0           -1/2x ^-1/2 =0

16.- Xe^3x  

18.-  lnx/x

f¹ =lnx/x²=0 X (In/x²) = 0

X= 1            x= 0 

Maximos y minimos    

22,. F(x) = 1+ 2x-x²                            -1       0         .5          1        2 

F¹(x) = 2-2x                               =4               =1                  =-2

F¹(x) = 2(1-x)

x= 0        x=1               x=0   no es extremo

                                    x= 1 máximo local 

24.-  F(x) = x3 -3 x+4

F¹(x) = 3x²-3                                   -1     0     .5     1      2

F¹(x) = 3 (x²-1)                                =0      =-2.25     = 9

x= 0   x=1                       X= 0 máximo local

                                       X= 1 mínimo local

28.-  Y= x³-2x²-9x+7

Y¹= 3x2 -4x -9     -(-4)

X= 0.18   no es extremo

X= 0.088 no es extremo 

34.- F(x) = x1/3

F¹(x) = 1/3 x -2/3        x = 1/3

                                 = 1     = +

F¹(x) = x = 1/3    x=1/3  mínimo local

38.- F(X) = 1/3X³ + ax² -3ax²

1/3 (x³) +2x² -3 (2)x²   

a=2                                                                                               0

 40.- f(x) =                                    -1    0    0.5    1    2

F¹(x) = 4x                                         = +      = -        = -

F¹(x) =(4 ( )                               x= 0 máximo local

X= 0      x= 1                                     x = 1 no es un extreme local

48.- f(x) = 6+x-x²

F´(x) = 2x+1 1(2x+1)                  -1    0     0.3     0.5__1___

x= 0      x=  0.5                            =-            =-               =+

x = 0 no tiene extremo

x= 0.5 mínimo local

52.-   f(x) = (x+1) 7/5 +3         -2      – 0.5      0       1___2__

F´(x) = 7/5 (x+1)6                   =+          =+            =+

X= -1 no tiene extremo

X= 0 no tiene extremo