Prueba de la segunda derivada:

Sea f(x) dos veces diferenciable en el punto critico x=c entonces

a) x=c es un máximo local de f siempre que f¹(c)=0 y la segunda f¹¹(x)<0

b) x=c es un mínimo local de f siempre que f¹(c)=0 y f¹¹(x)>0

Ejemplo

Determina los valores  máximos y mínimos  locales de

f(x)=x³+2x²-4x-8

f¹(x)= 3x²+4x-4

3x²+4x-4=0

X=-4+-√4²-4(3)(-4)/2(3)

X=-4+-8/6

X=-4+8/6 =4/6=2/3

X₂=-4-8/6= -12/6=-2

f¹¹(x)= 6x+4

f¹¹(2/3)=6(2/3)+4=8        mínimo local

f¹¹(-2)=6(-2)+4= -8         máximo local

f(2/3)=(2/3)³+2(2/3)²-4(2/3)-8=  -256/27        punto mínimo (2/3,-256/27)

f(-2)=(-2)³+2(-2)²-4(-2)-8=0                                punto máximo(-2,0)

Determina los valores máximos y mínimos locales de

f(x)x³

f¹(x)=3x²

3x²=0                               x=0                                       No hay punto máximo  mínimo

f¹¹(x)=6x                             f¹¹(0)=0     

Ejercicios

26.- x³-27x+5

f¹(x)=3x²-27

3x²-27=0

3(x²-9)=0                x=3                      x=0                       mínimo local

28.-x⁴-8x²+15

F¹(x)=4x³-16x=0

X=0       x=2                                f¹¹(0)= máximo

F¹¹(x)12x²-16                               f¹¹(2)=mínimo

30.-1+3x²-x⁶

f¹¹(x)=6x³+6x

6x(-x²+1)

f¹¹(x)=-30x⁴+6                  f¹¹(0)=mínimo   

x=0                  x=1           f¹¹(1)=máximo

32.-x²/e^2x

Y¹=x²(2e²x)-2x(e²x)

Y¹¹= 4x-2

y’2x²-2x

x=0   x=-2

(0,-2)     máximo               (-2,-10)  máximo

34.-x²inx

Y¹=(2x)1/x

2x=0    x=1

Y¹¹=2

(0,2)  máximo                    (1,-2) máximo

36.-x⁵-15x³+2

y’=5x⁴-45x²

5x²(x²-9)

X=0   x=3

Y¹¹= 20x³-90x

(0,-5) mínimo               (0,3)  máximo

38.-xiny^-x

Y¹¹=1/x-1

x=-1

y¹¹=-1/x²

(0,-1) máximo             (2,-1/4) mínimo

40.-(x+1)²(x-2)³

Y¹=2(x+1)(x-2)³+3(x-2)(x-1)²

Y¹=(2x+1)(x³-8)+(3x-6)(x²+1)

Y¹=2x⁴-16x+x³-8+3x³+3x-6x²-6

Y¹=2x⁴+4x³-6x₂-13x-14

Y¹¹=4x³+12x²-12x

(4x)(x²+4x-4)

4x(x-2)(x+2)

X=0 máximo        X=2 máximo         X=-2 mínimo

42.-x³(x-1)^2/3

Y¹=2x(x-1)^2/3+2/3(x-1)(x²)

Y¹=(2x²-2x)2/3+2/3(x²(x-1)

Y¹=2x⁴/3+2x²/3+6/3x²-2/3x

Y¹¹=8/3x^1/3-4/3x^-1/3+6/3x²-2/3x^-1

(0,-4/3) máximo           (12/46, 2/3) mínimo