Aplicación
de máximos y mínimos
Los
5 principios
1: identifique todas las variables innovadoras en el
problema y denomine cada una de ellas mediante un símbolo. En el ejemplo 1 las
variables eran n, el numero de peces por unidad de área w. la ganancia promedio
de peso por pez, y P la producción total de peso de los peces por mitad de
área. En el ejemplo 2 las variables eran dos números x y y, y P su producto.
2: destaque la variable que han de ser maximizada o minimizada
y expresarla en términos de las otras variables del problema volviendo el ejemplo
1, la producción total de P se maximizo y escribamos P=nw que expresa a P en
termino de n y w. en el ejemplo 2, el producto P de x y y se maximizo y por
supuesto P=xy.
3: determine las relaciones entre la variables exprese
estas relaciones matemáticamente. En el primer ejemplo, se debe a la relación
x=600-3n. En el segundo ejemplo la relación entre x y y es q su suma debía ser
igual a 16, de modo que escribimos la ecuación matemáticamente x+y=16.
4: Exprese la
cantidad por maximizar o minimizar en términos de una sola variable. Con objeto
de hacer esto, se utilizan las relaciones obtenidas en el paso 3 a fin de
eliminar todos excepto una de las variables.
Recurriendo de nuevo al ejemplo 1, tenemos que P=nw y
w=600-3n de modo que, eliminando w, se obtiene P en términos de n; P=n(600-3n).
En el segundo ejemplo tenemos que p=xy y x+y=16, por lo que, eliminando y,
obtenemos P=x(16-x).
5: Una vez que se ha expresada la cantidad requerida como
una función de una variable, determine unos puntos críticos e investigue si son
máximos o mínimos locales.
Ejemplos:
1: las variables en el problema son las dimensiones del
tanque y el costo de las materiales de construcción, el costo depende del área
total de la base y de los lados los cuales determinan la cantidad de material
usado en la construcción. Detonemos con la x la longitud de un lado de la base
y con y la altura del tanque. La cantidad que debe minimizarse el costo total
de materiales, que denotamos como C.
2: C es igual al área del tanque multiplica por $10 que
es costo por unidad de area. La base es
un cuadrado con lado x. de modo que tiene un área igual a ax^2. Cada lado es un
rectángulo con dimensiones x y y, y tienen una área xy. El área total de la
base más los cuatro lados es por tanto x2+4xy en consecuencia
escribamos:
C=10(x2+4xy)
3: observe que la cantidad por minimizar esta expresada
como una función de dos variables, de modo que necesitamos una relación entre x
y y, a fin de eliminar una de estas. Esta relación se obtiene del requerimiento
de que el volumen es igual al área de la base ser 4m3. El volumen es
igual al área de la base por la altura, esto es, x2 y y así tenemos la condición.
X2y=4
4: por el paso 3, y=4/x2 y así:
C=10[x2+4x(4/x2)] = 10[x-8/x4]
= 0
5: podemos derivar la ultima expresión y determinar los
puntos críticos de C.
2.-
Determine 2 números cuya
suma sea 16 de tal forma que su producto sea tan grande como sea
posible.
Solución: sean dos números x y y de modo que x+y=16 si
P=xy denota su producto, entonces necesitamos determinar los valores de x y y
que produzca que P sea máximo.
No podemos derivar P de inmediato puesto que una función de dos variables x y y. sin embargo,
estas dos variables no son independientes sino que están relacionadas por la
condición x+y=16. Debemos usar esta condición a fin de eliminar una de las
variables de P. como función de una sola variable. Tenemos que y=16-x y así:
P= xy= x(16-x) = 16x-x2
Debemos de encontrar el valor de que x haga a P máximo.
Dp/dx = 16-2x
Así que dp/dx=0 cuando 16-2x=0 esta es si x=8. La segunda
derivada de d^2p/dx2=<0 y x=8 de modo que el valor máximo P es
igual.
EJERCICIOS:
2.-encuentra dos números con suma igual 8 que la suma de
sus cuadrados sea un mínimo.
y=8-x
P=xy=x(8+x)=0
X=-8
3.1416(a)2 = 3.1416a 2
El área máxima del circulo es de 3.1416a 2
10.- un folleto impreso a de contener 48 pulgadas
cuadradas de espacio impreso con márgenes de 3 pulgadas en la parte superior
e inferior y márgenes laterales de una pulgada. ¿Qué dimensiones del
folleto consumirán la misma cantidad de papel?
x=45 x=20
900(15)=13500
680(20)=13600
a) Las
dimensiones son: l=45m h=20m
b) Las
dimensiones cuando sube a $20 son
l=40m y h=17m
14.- el costo de producción anual de un producto es c=
5000 + 80000000/x+x/20 donde x es el tamaño promedio del lote por serie de
producción. Encuentre el valor de x que hace mínimo a C.
C=5000+80000000/x+x/20
C=5000+80000000x/20x
4000000x+5000=0
X=-5000/4000000
X=-0.00125 es cuando hace mínimo a C.
22.- una compañía advierte que puede vender toda la
existencia de cierto producto que elabora a una taza de 2 pesos por unidad. Se
estima la función de costo del producto como (1000+1/2(x/50)2) pesos
por x unidades producidas
A) encuentra una expresión para la utilidad total si se
venden y deben x unidades
b) determina el número de unidades producidas que
maximizan la utilidad.
c) cual es la cantidad de utilidad máxima.
d) cual sería la utilidad si se produjeran 6000 unidades.
A) I=Px I=2x
U=I-C
U=2x-1000+1/2(x/50)2
B) U’=2+x/50(x/50)2
U=2(2)+1000+1/2(2/50)2
C) U=1004.0008 unidades
U=2(12000)+1000+1/2(12000/50)2
D) $82600
36.- se corta un cuadro de tamaño x de cada esquina de
una cartulina rectangular que mide 12 por 18 pulgadas y las 4 aristas se doblan
para formar una caja de profundidad x. encuentre el valor de x que da la caja
de volumen máximo.
16p2+12p2-p3=
P (32+24-3p)=0
p=-32-24/-3
p=4.3
