Derivadas

Derivadas de funciones elevadas a una potencia.

Teorema 1

1)       f(x)=0

             f¹(x)=0

2)    Si  y=x

     y¹=1

3)    Si  y=x²

     y¹=2x

4)    Si  y=x³

   y¹= 3x²

5)    Si  y=xⁿ

     y¹=nx^n-1

Teorema 2

c→constante

f(x)=cxⁿ

f(x)=cnx^n-1

Sea “u” de x una función y “c” una constante entonces
d(cu)/dx=c(du/dx)
Teorema 3
Sea “u” de x y “v” de x dos funciones diferenciales de x entonces
d/dx(u+v)= du/dx + dv+dx

Analisis marginal

Costo marginal

C(X)=costo
dc(x)/dx →costo marginal

Por ejemplo suponga que el fabricante  de cierto articulo descubre que a fin de producir  “x” de estos artículos a la semana , el costo total en dólares esta dado por    c=200+0.03x². Por ejemplo si se producen 100 articulos  del costo total serian 5000 dolares. El costo promedio por articulo al producir  100 articulos es de 5 dolares por produccion. Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción  de 100 a (100+∆x) unidades  por semana el costo seria.

C+∆c=200+0.03(100+∆x)²

          =200+0.03[(10000+200∆x+(∆x)²]

         =200+300+6∆x+0.03(∆x)²

         =500+6∆x+0.03(∆x)²

Calcula el costo marginal para el caso de la función

c(x)=0.001x³-0.3x²+40x+1000

c(x)=0.003x²-0.6x+40

x=50,100,150

c¹ (50)=.003(50)²-0.6(50)+40=         17.5

c¹(100)=.003(100)²-0.6(100)+40=    10

c¹(150)=.003(150)²-0.6(150)+40=    17.5

Costo promedio c(x)/x=0.001x²-0.3x+40+1000/x

La funcion de ingreso esta dada por R(x)10x-0.01x² calcula el ingreso marginal y evaluado cuando x=200

R(x)=10-0.01x²
R¹(x)=10-0.02x
R¹(200)=10-0.02(200)=6
La ecuacion de la demanda de cierto producto es P+0.1x=80 la función de costo es c(x)=5000+20x calcula utilidad marginal cuando se produce y venden 150 unidades y 400 unidades.

Es la derivada

P+0.1x=80                     P=80-0.1x

C(x)=5000+20x              R(x)=x(80-0.1x)

                                              =80x-0.1x²

P(x)=R(x)-C(x)

P(x)=(80x-0.1x²)-(5000+20x)

P(x)=60x-0.1x²-5000

P¹(x)=60-0.2x

P¹(150)=60-0.2(150)=30

P¹(400)=60-0.2(400)=-20